Verden på formler: Primtalssætningen

Primtalssætningen var i næsten 100 år et internt matematisk grundforskningsresultat. I dag er primtallenes ejendommelige opførsel fundamentet for stort set al sikkerhed på internettet.

Tyskeren Carl Friedrich Gauss (1777-1855) formodede i en alder af bare 15 år den formel, som senere blev døbt Primtalssætningen. Gauss var uhyre produktiv og bidrog til fysik, geodæsi, astronomi og mange områder af matematikken. Primtalsformodningen er et eksempel på hans enorme kreativitet, fortæller Lisbeth Fajstrup, lektor i matematik på Aalborg Universitet.

Tallenes fascinerende verden
Talteori er et af de ældste matematiske områder. Der er både helt nye og flere tusinde år gamle resultater om primtal, der jo er tal, hvori kun 1 og tallet selv går op. Primtallene er ikke jævnt fordelt i talrækken, som det ses her, hvor samtlige primtal op til 100 er vist: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 og 97.

Ifølge Lisbeth Fajstrup er primtal byggesten for tallene, da alle hele tal kan skrives som et produkt af primtal. Det er let nok at regne ud, at 12 er lig med 2 x 2 x 3. Det er straks sværere at finde frem til de primtal, man skal gange med hinanden, hvis tallet er meget stort. Det vender vi tilbage til. 

Grundforskning, der batter 
Hun fortæller, at Gauss som ung fik en logaritmetabel forærende, der gjorde det muligt for ham at udføre komplicerede beregninger. Samtidig fik han en tabel over primtal. Gauss lagde mærke til, at primtallene bliver sjældnere og sjældnere, og han opdagede, at den gennemsnitlige afstand mellem primtallene i intervallet fra 1 til n opfører sig ligesom den naturlige logaritme ln(n). Eller sagt på en anden måde, at π(n) – det vil sige antallet af primtal op til en vis grænse n – opfører sig ligesom n/ln(n). Senere fandt han alle primtal op til 3 millioner og fik bekræftet sin opdagelse.

“Primtalssætningen er fascinerende, fordi den giver en sammenhæng mellem funktioner, som umiddelbart intet har med hinanden at gøre. Beviset for sætningen kom da også først næsten 100 år senere. Og indtil for 30 år siden var det et rent internt matematisk grundforskningsresultat. Men i dag er det fuldstændig fundamentalt for vores moderne samfund”, siger Lisbeth Fajstrup.   

Netsikkerhed 
I slutningen af 1970’erne fandt amerikanske forskere på at konstruere en såkaldt krypterings-algoritme, der bygger på, at man kan finde meget store primtal, og dermed på Primtalssætningen. Konkret foregår det ved, at en transaktion til fx netbanken krypteres ved hjælp af et stort tal, som banken er nået frem til ved at gange to primtal med måske 100 cifre med hinanden. Ophævelsen af krypteringen kan kun finde sted, hvis man kender de to primtal.

“Brug af netbank og handel på nettet er i dag krypteret på den måde. I det hele taget bygger stort set al sikkerhed på internettet på, at det er afsindigt svært at finde frem til de to primtal, når tallet er meget stort”, siger hun og tilføjer med et smil, at der i dette tilfælde viste sig at være et par hundrede år mellem forskning og faktura, men at sidstnævnte til gengæld blev overmåde stor.